Упр.845 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Разбор 1 Исследовать углы равносторонних треугольников
Исследовать углы равносторонних треугольников
С пояснением 1) Не всякий треугольник равносторонний: существуют треугольники, у которых стороны имеют разную длину.
2) Начертим несколько треугольников с тремя равными сторонами и измерим их углы транспортиром.
3) У каждого из начерченных треугольников все три угла получаются равными 60°.
Ответ: гипотеза — в любом равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
Кратко Не каждый треугольник является равносторонним. Измерения показывают, что углы равностороннего треугольника равны.
Ответ: гипотеза — каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
С пояснением 1) Не всякий треугольник равносторонний: существуют треугольники, у которых стороны имеют разную длину.
2) Начертим несколько треугольников с тремя равными сторонами и измерим их углы транспортиром.
3) У каждого из начерченных треугольников все три угла получаются равными 60°.
Ответ: гипотеза — в любом равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
Кратко Не каждый треугольник является равносторонним. Измерения показывают, что углы равностороннего треугольника равны.
Ответ: гипотеза — каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Разбор 2 Исследовать треугольники, соединяя середины сторон
Исследовать треугольники, соединяя середины сторон
С пояснением 1) Начертим равносторонний треугольник ABC. Отметим середины D, E и F его сторон и соединим их.
3) Повторение опыта с равносторонними треугольниками других размеров даёт такой же результат.
Ответ: гипотеза — если соединить середины сторон равностороннего треугольника, то он разделится на четыре одинаковых равносторонних треугольника; сторона каждого из них в 2 раза меньше стороны исходного треугольника.
Кратко
Ответ: сторона каждого маленького треугольника в 2 раза меньше стороны исходного.
С пояснением 1) Начертим равносторонний треугольник ABC. Отметим середины D, E и F его сторон и соединим их.
A
/ \
D---E
/ \ / \
B---F---C2) Измерим стороны получившихся треугольников. Внутри большого треугольника образовались четыре одинаковых равносторонних треугольника.3) Повторение опыта с равносторонними треугольниками других размеров даёт такой же результат.
Ответ: гипотеза — если соединить середины сторон равностороннего треугольника, то он разделится на четыре одинаковых равносторонних треугольника; сторона каждого из них в 2 раза меньше стороны исходного треугольника.
Кратко
A
/ \
D---E
/ \ / \
B---F---CПосле соединения середин сторон получаются четыре одинаковых равносторонних треугольника.Ответ: сторона каждого маленького треугольника в 2 раза меньше стороны исходного.
Разбор 3 Сравнить равнобедренный и равносторонний треугольники
Сравнить равнобедренный и равносторонний треугольники
С пояснением 1) Равнобедренный треугольник не обязательно является равносторонним: у него могут быть равны только две стороны, а третья — отличаться.
2) Равносторонний треугольник является равнобедренным, потому что у него равны все три стороны, а значит, равны и любые две стороны.
Ответ: равнобедренный треугольник не всегда равносторонний; равносторонний треугольник всегда равнобедренный.
Кратко 1) Равнобедренный треугольник не обязательно равносторонний.
2) Равносторонний треугольник всегда равнобедренный.
Ответ: нет; да.
С пояснением 1) Равнобедренный треугольник не обязательно является равносторонним: у него могут быть равны только две стороны, а третья — отличаться.
2) Равносторонний треугольник является равнобедренным, потому что у него равны все три стороны, а значит, равны и любые две стороны.
Ответ: равнобедренный треугольник не всегда равносторонний; равносторонний треугольник всегда равнобедренный.
Кратко 1) Равнобедренный треугольник не обязательно равносторонний.
2) Равносторонний треугольник всегда равнобедренный.
Ответ: нет; да.
Разбор 4 Построить диаграмму множеств треугольников
Построить диаграмму множеств треугольников
С пояснением 1) Все равнобедренные и разносторонние треугольники являются треугольниками, поэтому множества B и C находятся внутри множества A.
2) Равнобедренный треугольник не может быть разносторонним, поэтому множества B и C не пересекаются.
3) Каждый треугольник относится либо к B, либо к C. Равносторонние треугольники входят в B, так как у них есть равные стороны.
Кратко
С пояснением 1) Все равнобедренные и разносторонние треугольники являются треугольниками, поэтому множества B и C находятся внутри множества A.
2) Равнобедренный треугольник не может быть разносторонним, поэтому множества B и C не пересекаются.
3) Каждый треугольник относится либо к B, либо к C. Равносторонние треугольники входят в B, так как у них есть равные стороны.
┌───────────────────────────────┐ │ A — все треугольники │ │ ┌─────────────┬─────────────┐ │ │ │ B — равно- │ C — разно- │ │ │ │ бедренные │ сторонние │ │ │ └─────────────┴─────────────┘ │ └───────────────────────────────┘Ответ: B и C находятся внутри A, не пересекаются и вместе составляют A.
Кратко
┌───────────────────────────────┐ │ A — все треугольники │ │ ┌─────────────┬─────────────┐ │ │ │ B — равно- │ C — разно- │ │ │ │ бедренные │ сторонние │ │ │ └─────────────┴─────────────┘ │ └───────────────────────────────┘Ответ: множества B и C не пересекаются и вместе образуют множество A.
Разбор 5 Определить красоту и нарисовать четырёхугольники по возрастанию
Варианты решения:
Определить красоту и нарисовать четырёхугольники по возрастанию
С пояснением 1) Четырёхугольник S красивее четырёхугольника T тогда и только тогда, когда S можно перегнуть по большему числу линий так, чтобы одна его часть полностью наложилась на другую.
2) Расположим четырёхугольники по возрастанию числа таких линий:
Ответ: параллелограмм, равнобедренная трапеция, прямоугольник, квадрат.
Кратко Четырёхугольник S красивее T, если у него больше линий сгиба, по которым одна часть полностью совмещается с другой.
С пояснением 1) Четырёхугольник S красивее четырёхугольника T тогда и только тогда, когда S можно перегнуть по большему числу линий так, чтобы одна его часть полностью наложилась на другую.
2) Расположим четырёхугольники по возрастанию числа таких линий:
Параллелограмм Равнобедренная Прямоугольник Квадрат без прямых углов трапеция ┌──────┐ ╱────╲ ┌────────┐ ┌──────┐ ╱ ╱ ╱ ╲ │ │ │ │ └──────┘ └────────┘ └────────┘ └──────┘ 0 способов 1 способ 2 способа 4 способаУ трапеции одна линия сгиба, у прямоугольника — две, а у квадрата — четыре: две через середины противоположных сторон и две по диагоналям.
Ответ: параллелограмм, равнобедренная трапеция, прямоугольник, квадрат.
Кратко Четырёхугольник S красивее T, если у него больше линий сгиба, по которым одна часть полностью совмещается с другой.
Параллелограмм → Равнобедренная → Прямоугольник → Квадрат
трапеция
0 1 2 4Ответ: фигуры расположены по возрастанию красоты: параллелограмм, равнобедренная трапеция, прямоугольник, квадрат. Определить красоту и нарисовать четырёхугольники по возрастанию
Четырёхугольник S красивее четырёхугольника T, если у S больше линий сгиба, по которым его части полностью совмещаются, чем у T.
Четырёхугольник S красивее четырёхугольника T, если у S больше линий сгиба, по которым его части полностью совмещаются, чем у T.
Несимметричный Воздушный змей Прямоугольник Квадрат
четырёхугольник (1 линия) (2 линии) (4 линии)
A------B A A-------B A---B
\ \ / \ | | | |
D------C B/ \C | | | |
\ / D-------C D---C
\ /
\ /
D
0 линий сгиба → 1 линия сгиба → 2 линии сгиба → 4 линии сгибаОтвет: по возрастанию красоты: несимметричный четырёхугольник, воздушный змей, прямоугольник, квадрат. Определить красоту и нарисовать четырёхугольники по возрастанию
Четырёхугольник S красивее четырёхугольника T, если S можно перегнуть по большему числу линий так, чтобы части фигуры полностью совместились.
Четырёхугольник S красивее четырёхугольника T, если S можно перегнуть по большему числу линий так, чтобы части фигуры полностью совместились.
Неравнобокая Равнобедренная Ромб Квадрат
трапеция трапеция
A---B A---B A A---B
/ \ / \ / \ | |
D---------C D-------C D B | |
\ / D---C
\ /
C
0 линий 1 линия 2 линии 4 линииОтвет: неравнобокая трапеция, равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
Математическое исследование
Прочитай и осмысли определения. Пользуясь ими, выполни задания.
I Треугольник называется равносторонним, если все его стороны имеют одинаковую длину.
1) Укажи все равносторонние треугольники на рисунке:
2) Всякий ли треугольник является равносторонним? Начерти несколько равносторонних треугольников и измерь их углы. Сформулируй гипотезу.
3) Начерти равносторонний треугольник и соедини отрезками середины его сторон. Что ты наблюдаешь? Повтори эксперимент ещё несколько раз. Сформулируй гипотезу.
II Треугольник называется равнобедренным, если хотя бы две из его сторон имеют одинаковую длину.
1) Укажи на рисунке все равнобедренные треугольники:
2) Является ли равнобедренный треугольник равносторонним? Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?
3) Построй диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В и С, где А - множество всех треугольников, В - множество равнобедренных треугольников и С - множество разносторонних треугольников.
III S красивее T < - > S можно перегнуть большим числом способов, чем T, так, чтобы одна часть полностью наложилась на другую (S и Т - треугольники)
1) Какой из треугольников на рисунке самый красивый? Самый некрасивый? Какие треугольники красивее - равнобедренные или равносторонние?
2) Дай аналогичное определение для четырёхугольников. Нарисуй четыре четырёхугольника, расположив их по возрастанию красоты.
