Упр.737 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Разбор 1 Проверить простоту чисел 2^(2^n) + 1
Проверить простоту чисел 2^(2^n) + 1
С пояснением 1) При n = 1: 2^(2¹) + 1 = 2² + 1 = 5. Число 5 простое.
2) При n = 2: 2^(2²) + 1 = 2⁴ + 1 = 17. Число 17 простое.
3) При n = 3: 2^(2³) + 1 = 2⁸ + 1 = 257. Число 257 не делится на простые числа 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Другие возможные множители были бы больше 16, а 17 · 17 > 257. Значит, 257 — простое число.
Ответ: при n = 1, 2, 3 получаются простые числа 5, 17 и 257.
Кратко 1) n = 1: 2² + 1 = 5.
2) n = 2: 2⁴ + 1 = 17.
3) n = 3: 2⁸ + 1 = 257.
Все три числа простые.
Ответ: 5, 17, 257.
С пояснением 1) При n = 1: 2^(2¹) + 1 = 2² + 1 = 5. Число 5 простое.
2) При n = 2: 2^(2²) + 1 = 2⁴ + 1 = 17. Число 17 простое.
3) При n = 3: 2^(2³) + 1 = 2⁸ + 1 = 257. Число 257 не делится на простые числа 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Другие возможные множители были бы больше 16, а 17 · 17 > 257. Значит, 257 — простое число.
Ответ: при n = 1, 2, 3 получаются простые числа 5, 17 и 257.
Кратко 1) n = 1: 2² + 1 = 5.
2) n = 2: 2⁴ + 1 = 17.
3) n = 3: 2⁸ + 1 = 257.
Все три числа простые.
Ответ: 5, 17, 257.
Разбор 2 Как опровергли предположение Ферма?
Варианты решения:
Как опровергли предположение Ферма?
С пояснением 1) Чтобы опровергнуть утверждение «для любых n», достаточно найти хотя бы одно значение n, при котором число окажется составным.
2) Взяли n = 5 и вычислили:
2^(2^5) + 1 = 2^32 + 1 = 4 294 967 297.
3) Это число раскладывается на множители:
4 294 967 297 = 641 · 6 700 417.
Значит, оно составное, а не простое.
Ответ: утверждение Ферма опровергли с помощью контрпримера при n = 5.
Кратко При n = 5 получаем:
2^(2^5) + 1 = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417.
Число составное, поэтому предположение неверно.
Ответ: нашли контрпример при n = 5.
С пояснением 1) Чтобы опровергнуть утверждение «для любых n», достаточно найти хотя бы одно значение n, при котором число окажется составным.
2) Взяли n = 5 и вычислили:
2^(2^5) + 1 = 2^32 + 1 = 4 294 967 297.
3) Это число раскладывается на множители:
4 294 967 297 = 641 · 6 700 417.
Значит, оно составное, а не простое.
Ответ: утверждение Ферма опровергли с помощью контрпримера при n = 5.
Кратко При n = 5 получаем:
2^(2^5) + 1 = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417.
Число составное, поэтому предположение неверно.
Ответ: нашли контрпример при n = 5.
Как опровергли предположение Ферма?
Предположение проверили при следующем значении n. Оказалось, что при n = 5 число 2^(2^5) + 1 делится на 641 без остатка. Значит, у него есть делитель, отличный от 1 и самого числа, поэтому оно не простое.
Ответ: достаточно было найти число при n = 5, которое оказалось составным.
Предположение проверили при следующем значении n. Оказалось, что при n = 5 число 2^(2^5) + 1 делится на 641 без остатка. Значит, у него есть делитель, отличный от 1 и самого числа, поэтому оно не простое.
Ответ: достаточно было найти число при n = 5, которое оказалось составным.
Как опровергли предположение Ферма?
Чтобы проверить предположение, стали подставлять следующие значения n и искать делители полученных чисел. При n = 5 у числа 2^(2^5) + 1 нашёлся делитель 641. Значит, это число составное, а одного такого случая достаточно, чтобы опровергнуть правило «при любом n».
Ответ: нашли значение n, при котором получилось не простое, а составное число.
Чтобы проверить предположение, стали подставлять следующие значения n и искать делители полученных чисел. При n = 5 у числа 2^(2^5) + 1 нашёлся делитель 641. Значит, это число составное, а одного такого случая достаточно, чтобы опровергнуть правило «при любом n».
Ответ: нашли значение n, при котором получилось не простое, а составное число.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
Французский математик Пьер Ферма, живший в XVII веке, обнаружил, что при небольших натуральных значениях n значение выражения 2^2^n + 1 является простым числом. Проверь это утверждение для n = 1, 2, 3.
б) Пьер Ферма поставил вопрос о том, будет ли это свойство выполняться при любых n. Позже выяснилось, что в общем виде данное утверждение неверно. Как ты думаешь, каким способом это было доказано?
