Упр.735 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Разбор 1 Упростить произведения степеней и сравнить их
Упростить произведения степеней и сравнить их
С пояснением 1) 2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 2⁷.
2) 7² · 7³ = (7 · 7) · (7 · 7 · 7) = 7⁵.
3) 9⁴ · 9² = (9 · 9 · 9 · 9) · (9 · 9) = 9⁶.
Во всех выражениях умножаются степени с одинаковыми основаниями. Поэтому основание можно оставить прежним, а показатели сложить.
Произведение 5⁶ · 3² нельзя упростить по этому правилу, потому что основания 5 и 3 разные.
Ответ: 2⁷; 7⁵; 9⁶; произведение 5⁶ · 3² по этому правилу не упрощается.
Кратко 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷;
7² · 7³ = 7²⁺³ = 7⁵;
9⁴ · 9² = 9⁴⁺² = 9⁶.
Общее: у множителей одинаковые основания, поэтому показатели складываются. В произведении 5⁶ · 3² основания разные, значит, это правило применить нельзя.
Ответ: 2⁷; 7⁵; 9⁶; 5⁶ · 3² по этому правилу не упрощается.
С пояснением 1) 2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 2⁷.
2) 7² · 7³ = (7 · 7) · (7 · 7 · 7) = 7⁵.
3) 9⁴ · 9² = (9 · 9 · 9 · 9) · (9 · 9) = 9⁶.
Во всех выражениях умножаются степени с одинаковыми основаниями. Поэтому основание можно оставить прежним, а показатели сложить.
Произведение 5⁶ · 3² нельзя упростить по этому правилу, потому что основания 5 и 3 разные.
Ответ: 2⁷; 7⁵; 9⁶; произведение 5⁶ · 3² по этому правилу не упрощается.
Кратко 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷;
7² · 7³ = 7²⁺³ = 7⁵;
9⁴ · 9² = 9⁴⁺² = 9⁶.
Общее: у множителей одинаковые основания, поэтому показатели складываются. В произведении 5⁶ · 3² основания разные, значит, это правило применить нельзя.
Ответ: 2⁷; 7⁵; 9⁶; 5⁶ · 3² по этому правилу не упрощается.
Разбор 2 Умножение степеней с одинаковыми основаниями
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
С пояснением 1) a³ · a² = (a · a · a) · (a · a) = a⁵.
2) a⁵ · a⁴ = a⁹.
3) a² · a⁵ = a⁷.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
Гипотеза: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Ответ: a⁵; a⁹; a⁷; aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Кратко a³ · a² = a³⁺² = a⁵;
a⁵ · a⁴ = a⁵⁺⁴ = a⁹;
a² · a⁵ = a²⁺⁵ = a⁷.
Гипотеза: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ — основание сохраняют, а показатели складывают.
Ответ: a⁵; a⁹; a⁷; aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
С пояснением 1) a³ · a² = (a · a · a) · (a · a) = a⁵.
2) a⁵ · a⁴ = a⁹.
3) a² · a⁵ = a⁷.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
Гипотеза: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Ответ: a⁵; a⁹; a⁷; aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Кратко a³ · a² = a³⁺² = a⁵;
a⁵ · a⁴ = a⁵⁺⁴ = a⁹;
a² · a⁵ = a²⁺⁵ = a⁷.
Гипотеза: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ — основание сохраняют, а показатели складывают.
Ответ: a⁵; a⁹; a⁷; aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Разбор 3 Определить смысл выражения a⁰ при a ≠ 0
Определить смысл выражения a⁰ при a ≠ 0
С пояснением 1) По правилу умножения степеней a⁰ · aⁿ = a⁰⁺ⁿ = aⁿ.
2) Чтобы равенство не нарушалось, число a⁰ при умножении не должно изменять aⁿ. Значит, a⁰ = 1.
Ответ: a⁰ = 1 при a ≠ 0.
Кратко a⁰ нужно считать равным 1, потому что a⁰ · aⁿ = aⁿ.
Ответ: a⁰ = 1 при a ≠ 0.
С пояснением 1) По правилу умножения степеней a⁰ · aⁿ = a⁰⁺ⁿ = aⁿ.
2) Чтобы равенство не нарушалось, число a⁰ при умножении не должно изменять aⁿ. Значит, a⁰ = 1.
Ответ: a⁰ = 1 при a ≠ 0.
Кратко a⁰ нужно считать равным 1, потому что a⁰ · aⁿ = aⁿ.
Ответ: a⁰ = 1 при a ≠ 0.
Разбор 4 Упрости выражения и объясни, можно ли упростить 7⁴ : 4²
Упрости выражения и объясни, можно ли упростить 7⁴ : 4²
С пояснением 1) 5⁶ : 5² = (5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5) : (5 · 5) = 5⁴.
2) 11⁷ : 11⁴ = (11 · 11 · 11 · 11 · 11 · 11 · 11) : (11 · 11 · 11 · 11) = 11³.
3) 4⁵ : 4² = (4 · 4 · 4 · 4 · 4) : (4 · 4) = 4³.
Во всех трёх выражениях делят степени с одинаковыми основаниями, поэтому общие множители можно сократить.
Частное 7⁴ : 4² так упростить нельзя: основания 7 и 4 разные, общих множителей нет.
Ответ: 5⁴; 11³; 4³; 7⁴ : 4² указанным способом не упрощается.
Кратко 1) 5⁶ : 5² = 5⁴.
2) 11⁷ : 11⁴ = 11³.
3) 4⁵ : 4² = 4³.
Во всех трёх частных основания степеней одинаковы. Выражение 7⁴ : 4² так упростить нельзя, потому что основания разные и общих множителей нет.
Ответ: 5⁴; 11³; 4³; 7⁴ : 4² не упрощается.
С пояснением 1) 5⁶ : 5² = (5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5) : (5 · 5) = 5⁴.
2) 11⁷ : 11⁴ = (11 · 11 · 11 · 11 · 11 · 11 · 11) : (11 · 11 · 11 · 11) = 11³.
3) 4⁵ : 4² = (4 · 4 · 4 · 4 · 4) : (4 · 4) = 4³.
Во всех трёх выражениях делят степени с одинаковыми основаниями, поэтому общие множители можно сократить.
Частное 7⁴ : 4² так упростить нельзя: основания 7 и 4 разные, общих множителей нет.
Ответ: 5⁴; 11³; 4³; 7⁴ : 4² указанным способом не упрощается.
Кратко 1) 5⁶ : 5² = 5⁴.
2) 11⁷ : 11⁴ = 11³.
3) 4⁵ : 4² = 4³.
Во всех трёх частных основания степеней одинаковы. Выражение 7⁴ : 4² так упростить нельзя, потому что основания разные и общих множителей нет.
Ответ: 5⁴; 11³; 4³; 7⁴ : 4² не упрощается.
Разбор 5 Записать частные степеней и сформулировать гипотезу
Записать частные степеней и сформулировать гипотезу
С пояснением 1) a⁷ : a³ = (a · a · a · a · a · a · a) : (a · a · a) = a⁴.
2) a⁶ : a⁴ = (a · a · a · a · a · a) : (a · a · a · a) = a².
3) a⁵ : a² = (a · a · a · a · a) : (a · a) = a³.
Гипотеза: при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого нужно вычесть показатель степени делителя: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, где a ≠ 0 и m ≥ n.
Ответ: a⁴; a²; a³; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Кратко a⁷ : a³ = a⁷⁻³ = a⁴;
a⁶ : a⁴ = a⁶⁻⁴ = a²;
a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³.
Гипотеза: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при a ≠ 0 и m ≥ n.
Ответ: a⁴; a²; a³; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
С пояснением 1) a⁷ : a³ = (a · a · a · a · a · a · a) : (a · a · a) = a⁴.
2) a⁶ : a⁴ = (a · a · a · a · a · a) : (a · a · a · a) = a².
3) a⁵ : a² = (a · a · a · a · a) : (a · a) = a³.
Гипотеза: при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого нужно вычесть показатель степени делителя: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, где a ≠ 0 и m ≥ n.
Ответ: a⁴; a²; a³; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Кратко a⁷ : a³ = a⁷⁻³ = a⁴;
a⁶ : a⁴ = a⁶⁻⁴ = a²;
a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³.
Гипотеза: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при a ≠ 0 и m ≥ n.
Ответ: a⁴; a²; a³; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Разбор 6 Определить смысл выражения a⁰ при a ≠ 0
Определить смысл выражения a⁰ при a ≠ 0
С пояснением 1) По правилу деления степеней aⁿ : aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰.
2) С другой стороны, любое ненулевое число при делении на само себя равно 1: aⁿ : aⁿ = 1.
3) Поэтому, чтобы правило деления степеней не нарушалось, нужно считать a⁰ = 1 при a ≠ 0.
Ответ: a⁰ = 1 при a ≠ 0.
Кратко a⁰ = aⁿ : aⁿ = 1 при a ≠ 0.
Ответ: a⁰ = 1.
С пояснением 1) По правилу деления степеней aⁿ : aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰.
2) С другой стороны, любое ненулевое число при делении на само себя равно 1: aⁿ : aⁿ = 1.
3) Поэтому, чтобы правило деления степеней не нарушалось, нужно считать a⁰ = 1 при a ≠ 0.
Ответ: a⁰ = 1 при a ≠ 0.
Кратко a⁰ = aⁿ : aⁿ = 1 при a ≠ 0.
Ответ: a⁰ = 1.
Разбор 7 Исследовать степень (5²)³
Исследовать степень (5²)³
С пояснением 1) (5²)³ означает, что число 5² берут множителем 3 раза:
(5²)³ = 5² · 5² · 5².
2) В каждом множителе по две пятёрки, а всего таких множителей 3:
(5²)³ = (5 · 5) · (5 · 5) · (5 · 5) = 5⁶.
3) Замечаем: 6 = 2 · 3. Значит, при возведении степени в степень показатели перемножаются:
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
4) Проверим гипотезу:
(2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶, причём 3 · 2 = 6;
(3²)⁴ = 3² · 3² · 3² · 3² = 3⁸, причём 2 · 4 = 8.
Ответ: (5²)³ = 5⁶; при возведении степени в степень показатели перемножаются.
Кратко (5²)³ = 5² · 5² · 5² = 5⁶.
Проверка: (2³)² = 2⁶, (3²)⁴ = 3⁸.
Гипотеза: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, то есть показатели степени перемножаются.
Ответ: (5²)³ = 5⁶.
С пояснением 1) (5²)³ означает, что число 5² берут множителем 3 раза:
(5²)³ = 5² · 5² · 5².
2) В каждом множителе по две пятёрки, а всего таких множителей 3:
(5²)³ = (5 · 5) · (5 · 5) · (5 · 5) = 5⁶.
3) Замечаем: 6 = 2 · 3. Значит, при возведении степени в степень показатели перемножаются:
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
4) Проверим гипотезу:
(2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶, причём 3 · 2 = 6;
(3²)⁴ = 3² · 3² · 3² · 3² = 3⁸, причём 2 · 4 = 8.
Ответ: (5²)³ = 5⁶; при возведении степени в степень показатели перемножаются.
Кратко (5²)³ = 5² · 5² · 5² = 5⁶.
Проверка: (2³)² = 2⁶, (3²)⁴ = 3⁸.
Гипотеза: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, то есть показатели степени перемножаются.
Ответ: (5²)³ = 5⁶.
Разбор 8 Возведение степени в степень
Возведение степени в степень
С пояснением 1) (a³)² = a³ · a³ = a⁶.
2) (a²)⁴ = a² · a² · a² · a² = a⁸.
3) (a⁵)³ = a⁵ · a⁵ · a⁵ = a¹⁵.
Можно заметить, что при возведении степени в степень показатели перемножаются.
Гипотеза: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ при a ≠ 0.
Ответ: a⁶; a⁸; a¹⁵; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
Кратко (a³)² = a⁶;
(a²)⁴ = a⁸;
(a⁵)³ = a¹⁵.
Гипотеза: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ при a ≠ 0, то есть показатели степеней перемножаются.
Ответ: a⁶; a⁸; a¹⁵; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
С пояснением 1) (a³)² = a³ · a³ = a⁶.
2) (a²)⁴ = a² · a² · a² · a² = a⁸.
3) (a⁵)³ = a⁵ · a⁵ · a⁵ = a¹⁵.
Можно заметить, что при возведении степени в степень показатели перемножаются.
Гипотеза: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ при a ≠ 0.
Ответ: a⁶; a⁸; a¹⁵; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
Кратко (a³)² = a⁶;
(a²)⁴ = a⁸;
(a⁵)³ = a¹⁵.
Гипотеза: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ при a ≠ 0, то есть показатели степеней перемножаются.
Ответ: a⁶; a⁸; a¹⁵; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
Математическое исследование
I 1) Упрости выражения: 2^3 · 2^4, 7^2 · 7^3, 9^4 · 9^2. Что общего у всех этих выражений? Можно ли упростить произведение 5^6 · 3^2 ? Почему?
2) Как короче записать произведения: a^3 · а^2, а^5 · а^4, а^2 · а^5? Сформулируй гипотезу о том, как умножить степени с одинаковыми основаниями а^m · a^n, и запиши её в буквенном виде.
3) Какой смысл следует придать выражению а^0 (а ? 0), чтобы предложенное тобой правило не нарушалось?
II 1) Упрости выражения: 5^6 : 5^2, 11^7 : 11^4, 4^5 : 4^2. Что общего у всех этих выражений? Можно ли упростить частное 7^4 : 4^2? Почему?
2) Как короче записать частные: а^7 : а^3, a^6 : а^4, а^5 : а^2 (а ? 0)? Сформулируй гипотезу о том, как разделить степени с одинаковыми основаниями а^m : а^n при а ? 0, и запиши её в буквенном виде.
3) Какой смысл следует придать выражению а^0 (а ? 0), чтобы предложенное тобой правило не нарушалось?
III 1) Объясни смысл выражения (5^2)^3. Представь его в виде степени с основанием 5. Что ты замечаешь? Проверь свою гипотезу для других аналогичных случаев.
2) Упрости выражения: (а^3)^2, (а^2)^4, (а^5)^3. Сформулируй гипотезу о возведении степени в степень (а^m)^n при а ? 0, запиши её в буквенном виде.
