Упр.9.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
8. Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
Доказать: у параллелограмма точка пересечения диагоналей является
центром симметрии;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-параллелограмм и O-точка пересечения диагоналей;
2) По свойству параллелограмма:
AB||CD, BC||AD, AO=OC и BO=OD;
3) Таким образом, при преобразовании симметрии относительно
точки O вершина A переходит в вершину C, а вершина B переходит в
вершину D и наоборот;
4) Возьмем произвольную точку E на стороне BC, проведем прямую EO
и отметим точку F на пересечении этой прямой и стороны AD;
5) Углы AOF и EOC равны как вертикальные;
6) Углы OAF и OCE равны как внутренние накрест лежащие при
параллельных прямых AD и BC и секущей EF;
7) Треугольники AOF и COE равны по второму признаку, отсюда
OE=OF, следовательно точки E и F симметричны относительно
точки O;
8) Аналогично, доказывается что произвольная точка стороны AB
переходит в точку стороны CD;
9) Таким образом, каждая точка параллелограмма при преобразовании
симметрии относительно точки пересечения его диагоналей переходит
в другую точку параллелограмма, следовательно параллелограмм
является центрально-симметричной фигурой с центром симметрии в
точке пересечения диагоналей, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
