Упр.5.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:
44. Докажите, что: 1) прямые, содержащие высоты данного треугольника, являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника, образованного прямыми, проходящими через вершины данного треугольника параллельно соответствующим противолежащим сторонам; 2) все три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
I) Отобразим условие задачи:
Доказать: прямые, содержащие высоты данного треугольника,
являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника,
образованного прямыми, проходящими через вершины данного
треугольника, паралельно противолежащим сторонам;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник, а A1 B1 C1-треугольник,
образованный как сказано в условии задачи;
2) Проведем высоту BH треугольника ABC, так как прямые A1 C1 и AC
параллельны, то BH перпендикулярен A1 C1;
3) угол ABC = углу BCA1 (так как A1 B1 ||AB и BC-секущая);
4) угол ABC = углу BAC1 (так как B1 C1 ||BC и AB-секущая);
5) угол BCA = углу CBA1 (так как A1 C1 ||AC и BC-секущая);
6) угол BAC = углу ABC1 (так как A1 C1 ||AC и AB-секущая);
7) Треугольники ABC и ABC1 равны по второму признаку, отсюда
BC1=AC;
8) Треугольники ABC и CBA1 равны по второму признаку, отсюда
BA1=AC;
9) Таким образом, C1 B=BA1, значит прямая BH является серединным
перпендикуляром стороны A1 C1 треугольника A1 B1 C1, что и требовалось
Доказать.
10) Аналогичным образом доказывается и для других высот и сторон;
II)
Доказать: все три прямые, содержащие высоты треугольника,
пересекаются в одной точке;
Доказательство:
1) Из доказанного в пункте I этой задачи следует, что высоты
треугольнка ABC являются серединными перпендикулярами сторон
треугольника A1 B1 C1;
2) Как было доказано в предыдущей задаче вокруг любого треугольника
можно описать окружность и только одну;
3) Значит высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке,
которая является центром описанной около треугольника A1 B1 C1
окружности, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
